多项式牛顿迭代
Description
给定多项式 $g\left(x\right)$ ，已知有 $f\left(x\right)$ 满足：
$$g\left(f\left(x\right)\right)\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
求出模 $x^{n}$ 意义下的 $f\left(x\right)$ 。
Newton's Method
考虑倍增。
首先当 $n=1$ 时， $\left[x^{0}\right]g\left(f\left(x\right)\right)=0$ 的解需要单独求出。
假设现在已经得到了模 $x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$ 意义下的解 $f_{0}\left(x\right)$ ，要求模 $x^{n}$ 意义下的解 $f\left(x\right)$ 。
将 $g\left(f\left(x\right)\right)$ 在 $f_{0}\left(x\right)$ 处进行泰勒展开，有：
$$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{g^{\left(i\right)}\left(f_{0}\left(x\right)\right)}{i!}\left(f\left(x\right)-f_{0}\left(x\right)\right)^{i}\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
因为 $f\left(x\right)-f_{0}\left(x\right)$ 的最低非零项次数最低为 $\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil$ ，故有：
$$\forall 2\leqslant i:\left(f\left(x\right)-f_{0}\left(x\right)\right)^{i}\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
则：
$$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{g^{\left(i\right)}\left(f_{0}\left(x\right)\right)}{i!}\left(f\left(x\right)-f_{0}\left(x\right)\right)^{i}\equiv g\left(f_{0}\left(x\right)\right)+g'\left(f_{0}\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-f_{0}\left(x\right)\right)\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
$$f\left(x\right)\equiv f_{0}\left(x\right)-\frac{g\left(f_{0}\left(x\right)\right)}{g'\left(f_{0}\left(x\right)\right)}\pmod{x^{n}}$$
Examples
多项式求逆
设给定函数为 $h\left(x\right)$ ，有方程：
$$g\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}-h\left(x\right)\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
应用 Newton's Method 可得：
$$\begin{aligned} f\left(x\right)&\equiv f_{0}\left(x\right)-\frac{\frac{1}{f_{0}\left(x\right)}-h\left(x\right)}{-\frac{1}{f_{0}^{2}\left(x\right)}}&\pmod{x^{n}}\\ &\equiv 2f_{0}\left(x\right)-f_{0}^{2}\left(x\right)h\left(x\right)&\pmod{x^{n}} \end{aligned}$$
时间复杂度
$$T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right)$$
多项式开方
设给定函数为 $h\left(x\right)$ ，有方程：
$$g\left(f\left(x\right)\right)=f^{2}\left(x\right)-h\left(x\right)\equiv 0\pmod{x^{n}}$$
应用 Newton's Method 可得：
$$\begin{aligned} f\left(x\right)&\equiv f_{0}\left(x\right)-\frac{f_{0}^{2}\left(x\right)-h\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}&\pmod{x^{n}}\\ &\equiv\frac{f_{0}^{2}\left(x\right)+h\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}&\pmod{x^{n}} \end{aligned}$$
时间复杂度
$$T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right)$$
多项式 exp
设给定函数为 $h\left(x\right)$ ，有方程：
$$g\left(f\left(x\right)\right)=\ln{f\left(x\right)}-h\left(x\right)\pmod{x^{n}}$$
应用 Newton's Method 可得：
$$\begin{aligned} f\left(x\right)&\equiv f_{0}\left(x\right)-\frac{\ln{f_{0}\left(x\right)}-h\left(x\right)}{\frac{1}{f_{0}\left(x\right)}}&\pmod{x^{n}}\\ &\equiv f_{0}\left(x\right)\left(1-\ln{f_{0}\left(x\right)+h\left(x\right)}\right)&\pmod{x^{n}} \end{aligned}$$
时间复杂度
$$T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right)$$
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